% analyse2.tex --- analyse, niveau supérieur
% !TeX program = lualatex
% Compilation : lualatex --shell-escape (les calculs formels exécutent Python)
\documentclass[marges=20, taille=11, precision=3]{texecole}
\begin{document}

soit h1 = <bleu marine gras section num>
soit h2 = <bleu italique sous-section>

<h1>Analyse — niveau 2

<h2>Dérivées en ligne

$f'(x)$, $f''(x)$, la forme de Leibniz $dd(f)/dd(x)$ et la dérivée partielle $partielle(f)/partielle(x)$.

<h2>Opérateurs différentiels

Le gradient $gradient(f)$, la divergence $divergence(F)$, le rotationnel $rotationnel(F)$, le laplacien $laplacien(f)$ et la dérivée directionnelle $dérivée directionnelle(f; v)$.

<h2>Notation de Landau

Les comparaisons asymptotiques sont les mots explicites $O(...)$ et
$o(...)$ :
$exp(x) = 1 + x + o(x)$ quand $x to 0$, et
$somme(k=1;n) k = n^2/2 + O(n)$.

<h2>Transformées intégrales

Les transformées se nomment : $la transformée de Laplace(f)$ et
$la transformée de Fourier(f)$, d'inverses $l'inverse de Laplace(f)$ et $l'inverse de Fourier(f)$, avec
$l'inverse de Laplace(la transformée de Laplace(f)) = f$.

<h2>Suites récurrentes

<Soit>une fonction h(x) = racine(2x+3)

L'escalier de $p_(n+1) = h(p_n)$ depuis $p_0 = 0,2$, convergeant vers le point fixe $l = 3$ :

<Représente graphiquement la fonction h sur [0 ; 4], en ordonnée [0 ; 4], avec le diagramme en escalier depuis 0,2 sur 10 termes>

<page suivante h2>Primitive, limites, développement limité

<Soit>une fonction w(x) = 1/(x^2 + 1)

<Calcule la primitive de w>

<Calcule la limite de w en +infini>

<Soit>une fonction j(x) = 1/(x-1)

<Calcule la limite de j en 1 à droite>

<Calcule la limite de j en 1 à gauche>

<Soit>une fonction s(x) = exp(x)

<Calcule le développement limité de s en 0 à l'ordre 4>

<h2>Calcul formel du supérieur

<Simplifie (x^2 - 1)/(x - 1)>

<Décompose en éléments simples (x+1)/(x^2-1)>

<Résous dans CC l'équation x^2 + 1 = 0>

<Résous dans les entiers l'équation 2x = 4>

<h2>Sommes et produits en forme close

<Calcule la somme de k^2 pour k de 1 à n>

<Calcule le produit de k pour k de 1 à n>

<h2>Équations différentielles et aux dérivées partielles

<Résous l'équation différentielle y'' + 4y = 0>

<Résous l'équation différentielle N' = -0,12N, d'inconnue N(t)>

<Résous l'équation aux dérivées partielles u_x + u_y = u>

\end{document}