% geometrie2.tex --- géométrie, niveau supérieur
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\begin{document}

soit h1 = <bleu marine gras section num>
soit h2 = <bleu italique sous-section>

<h1>Géométrie — niveau 2

<h2>Vecteurs : produits

Un vecteur est $vecteur(u)$, sa norme $norme(vecteur(u))$. Le produit scalaire s'écrit en infixe, $vecteur(u) . vecteur(v)$, le produit vectoriel de même, $vecteur(u) ^ vecteur(v)$. Seul un vecteur des deux côtés les déclenche : $vecteur(u)^2$ reste un carré.

<Affiche un cadre avec une bordure bleu marine, un fond bleu Alice, des coins arrondis de 2 mm et un titre {La norme par le produit scalaire}>{
	$norme(vecteur(u))^2 = vecteur(u) . vecteur(u)$, et deux vecteurs
	sont orthogonaux quand $vecteur(u) . vecteur(v) = 0$.
}

La colinéarité se lit $colinéaires(u; v)$, l'orthogonalité
$vecteur(u) perpendiculaire vecteur(v)$.

<h2>Vocabulaire du supérieur

Le produit scalaire abstrait est $produit scalaire(u; v)$, l'orthogonal d'un sous-espace $orthogonal(F)$, la projection orthogonale
$projeté orthogonal(F; x)$ et le produit mixte $produit mixte(u; v; w)$.

<Affiche un cadre avec une bordure bleu marine, un fond bleu Alice, des coins arrondis de 2 mm et un titre {L'inégalité de Cauchy-Schwarz}>{
	$valeur absolue(vecteur(u) . vecteur(v)) <= norme(vecteur(u)) norme(vecteur(v))$,
	avec égalité exactement quand $colinéaires(u; v)$.
}

<h2>Repères et symboles

Un repère du plan est $repère(O; i; j)$, de l'espace
$repère(O; i; j; k)$ ; l'orthonormé $repère orthonormé(O; i; j)$. Les symboles se lisent : un triangle $triangle(ABC)$, un arc $arc(AB)$, un angle droit $angle droit$, un cercle $cercle(O; r)$ par centre et rayon.

<h2>Vecteurs dans un repère : somme et différence

La règle du parallélogramme pour la somme, la règle du triangle pour la différence, sur une même figure :

<Trace un repère où l'abscisse appartient à [-5 ; 5] et l'ordonnée à [-5 ; 5]>{
	le vecteur u (3;1)
	le vecteur v (1;3)
	le vecteur u depuis la pointe de v
	le vecteur v depuis la pointe de u
	le vecteur w = u + v
	le vecteur d = u - v depuis la pointe de v
}

<h2>Droites remarquables d'un triangle, dans un repère

<Soit>3 points A, B et C de coordonnées respectives (0 ; 0), (6 ; 0) et (2 ; 4)

<Trace un repère où l'abscisse appartient à [-1 ; 7] et l'ordonnée à [-1 ; 5]>{
	la droite (AB)
	la droite (BC)
	la droite (AC)
	la médiatrice de [AB]
	la médiatrice de [BC]
}

Les médiatrices concourent au centre du cercle circonscrit.

<h2>Les racines de l'unité, sommets d'un polygone régulier

Les racines cinquièmes de l'unité sont les sommets du pentagone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique :

<Calcule les racines cinquièmes de l'unité>

<Trace>le cercle trigonométrique, avec les valeurs

<Affiche un cadre avec une bordure bleu marine, un fond bleu Alice et un titre {Le lien algèbre-géométrie}>{
	Les solutions de $z^n = 1$ forment un polygone régulier à $n$
	sommets : l'équation algébrique dessine la figure.
}

\end{document}