% statistiques-probabilites2.tex --- statistiques et probabilités, niveau supérieur
% !TeX program = lualatex
% Compilation : lualatex --shell-escape (les calculs formels exécutent Python)
\documentclass[marges=20, taille=11, precision=3]{texecole}
\begin{document}

soit h1 = <bleu marine gras section num>
soit h2 = <bleu italique sous-section>

<h1>Statistiques et probabilités — niveau 2

<h2>Variance, écart type, covariance

$variance(X)$ est la variance, $écart type(X)$ l'écart type,
$covariance(X; Y)$ la covariance.

L'identité de König-Huygens :

$variance(X) = EE(X^2) - EE(X)^2$

<h2>Lois en notation

$X$ suit $normal(0; 1)$, la normale centrée réduite ; $N$ suit
$poisson(lambda)$ avec $PP(N = k) = exp(-lambda) lambda^k / factorielle(k)$ ;
$S$ suit $binomiale(n; p)$ avec $EE(S) = n p$.

<h2>répartition et densité

$répartition de(X; x) = PP(X <= x)$ et, pour une loi continue,
$répartition de(X; x) = intégrale(t=-infini;x) densité de(X; t)$.

<h2>Lois continues du supérieur, calculées

<Calcule la probabilité que X <= 0,5 pour la loi uniforme(0 ; 2)>

<Calcule la probabilité que X >= 1 pour la loi exponentielle(2)>

<Calcule la probabilité que X <= 2 pour la loi student(10)>

<Calcule la probabilité que X >= 3,84 pour la loi khi-deux(1)>

<Détermine le quantile d'ordre 0,975 de la loi student(9)>

<h2>Espérances et écarts types, en tableau

<Dresse un tableau [ml, mc, mc] avec bordures, entête, une bordure bleu marine et un entête en blanc, sur fond bleu marine>{
	Loi	Espérance	Écart type
	binomiale(n ; p)	$n p$	$racine(n p (1-p))$
	poisson(lambda)	$lambda$	$racine(lambda)$
	exponentielle(lambda)	$1/lambda$	$1/lambda$
	uniforme(a ; b)	$(a+b)/2$	$(b-a)/racine(12)$
}

<h2>La loi des grands nombres, illustrée par une boucle

La fréquence théorique de pile vaut $0,5$ ; l'écart type de la fréquence observée sur $n$ lancers vaut $1/(2 racine(n))$ — il fond quand $n$ grandit :

pour n dans [100, 400, 1600, 6400] {
	Pour #n lancers, l'écart type de la fréquence vaut #{defaut(1/(2*racine(n)))}.
}

<h2>Le théorème central limite, en un cadre

<Affiche un cadre avec une bordure bleu marine, un fond bleu Alice, des coins arrondis de 3 mm et un titre {Théorème central limite}>{
	Si $X_1, ..., X_n$ sont indépendantes, de même loi, d'espérance
	$mu$ et d'écart type $sigma$, alors la moyenne centrée réduite
	converge en loi vers $normal(0; 1)$ : c'est ce qui fait de la loi
	normale la loi des erreurs de mesure.
}

Le quantile gaussien et son cousin de Student se rejoignent quand le nombre de mesures grandit :

<Détermine le quantile d'ordre 0,975 de la loi normale(0 ; 1)>

<Détermine le quantile d'ordre 0,975 de la loi student(100)>

\end{document}